ЭЛЛИПС

Геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F₁, F₂ есть величина постоянная, называется эл­липсом. Точки F₁, F₂ называются фокусами эллипса.

Таким образом, для точек A эллипса с фокусами F₁ и F₂ сумма AF₁ + AF₂ постоянна и равна некоторому заданному отрезку c (рис. 1). Из неравенства треугольника следует, что отрезок c должен быть больше отрезка F₁F₂.

Слово "фокус" в переводе с латинского языка означает "очаг", "огонь", и именно это свойство эллипса послужило основанием для названия точек F₁, F₂ фокусами.

Еще И. Кеплер обнаружил, что планеты Солнечной системы движутся вокруг Солнца не по окружностям, как думали раньше, а по эллипсам, причем Солнце находится в фокусах этих эллипсов. Точка орбиты планеты, бли­жайшая к Солнцу, называется перигелий, а наиболее удаленная - афелий. Однако из-за того, что орбита Земли представляет собой очень мало сжатый эллипс, похожий на окружность, такое приближение и удаление от Солнца незначительно сказывается на температуре. Гораздо большее зна­чение для температуры на поверхности Земли имеет угол падения солнеч­ных лучей. Например, когда Земля бывает в перигелии, в нашем полушарии зима, а когда в афелии - в нашем полушарии лето. Луна, ис­кусственные спутники Земли также движутся вокруг Земли по эллипсам.

Для того чтобы нарисовать эллипс потребуется нить и кнопки. Прикрепим концы нити к фокусам. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги. Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бу­маге эллипс (рис. 2).

Задачи

1. Нарисуйте прямую и отметьте на ней точки F₁, F₂, расстояние между которыми равно 8 см. На плоскости отметьте точки, расстояние от которых до точек F₁ и F₂ равно соответственно: 5 см и 5 см; 6 см и 4 см; 7 см и 3 см; 8 см и 2 см; 9 см и 1 см.

2. Нарисуйте эллипс с заданными фокусами F₁, F₂, расстояние между которыми равно 8 см. и константа c равна 10 см.

3. Чему равно наибольшее расстояние между точками этого эллипса? Укажите эти точки.

4. Найдите наименьшее расстояние от точек эллипса до фокусов. Укажите соответствующие точки эллипса.

5. Укажите геометрическое место точек, для которых сумма расстоя­ний до фокусов F₁, F₂: а) меньше 10; б) боль­ше 10.

6. Докажите, что окружность с центром в фокусе F₁ и радиусом 1 лежит внутри эллипса. Нарисуйте эту окружность.

 

Касательной к эллипсу называется прямая, имеющая с эллипсом толь­ко одну общую точку. Общая точка называется точкой касания.

Теорема. Пусть А - произвольная точка эл­липса с фокусами F₁, F₂. Тогда касательной к эллипсу, проходящей через точку A является прямая, содержащая биссектрису угла, смежного с углом F₁AF₂.

Доказательство. Докажем, что прямая a, содержащая биссектрису угла, смежного с углом F₁AF₂, будет касательной к эллипсу (рис. 3). Рассмотрим точку F' на прямой F₁A, для которой АF' = АF₂. Тогда прямая a будет серединным перпендикуляром к отрезку F₂F'. Для произвольной точки A' прямой a, отличной от А, имеем

A'F₂ = A'F' и A'F₁ + A'F₂ = A'F₁ + A'F'> F₁F'= F₁A + AF₂ = c.

Это означает, что точка A' не принадлежит эллипсу, и, следовательно, прямая a имеет только одну общую точку А с эллипсом, т.е. является касательной.

Фокальное свойство. Если источник света поместить в один из фокусов эллипса, то лучи, отразив­шись от эллипса, соберутся в другом его фокусе.

Воспользуемся тем, что угол падения света равен углу отражения и тем, что от кривой свет отражается так же, как от касательной, проведенной в точку падения. Пусть A – точка падения луча, исходящего из фокуса F₁ эллипса, a – касательная (рис. 3). Тогда углы 1 и 2 равны, так как касательная a является биссектрисой угла F₂AF'. Углы 2 и 3 равны, как вертикальные. Следовательно, углы 1 и 3 равны. Поскольку угол падения луча света в точке A равен углу 3, то угол отражения будет равен углу 1, т.е. луч света, после отражения в точке A, пойдет в направлении AF₂.

 

Задачи

7. Проведите касательную a к эллипсу, проходящую через отмеченную точку C₁, для которой расстояния до фокусов F₁, F₂ равно 6 см и 4 см. Убедитесь, что она содержит биссектрису угла, смежного с углом F₁C₁F₂.

8. Постройте окружность с центром в точке F₁ и радиусом 10 см.. Отметьте точку F₂’, являющуюся точкой пересечения этой окружности с прямой F₁C₁. Чем является касательная a по отношению к отрезку F₁F₂’?

 

Построение касательной к эллипсу. Пусть эллипс задан своими фокусами F₁, F₂ и постоянной c. Используя циркуль и линейку, построим касательную к эллипсу, проходящую через данную точку C.

С центром в точке C и радиусом CF₂ проведем окружность. С центром в точке F₁ и радиусом c проведем другую окружность и найдем ее точки пересечения с первой окружностью (рис. 4). Таких точек может быть две F', F", одна или ни одной, в зависимости от расположения точки C. В первом случае проведем биссектрисы углов F'СF₂, F"СF₂. Соответствующие прямые a', a" являются серединными перпендикулярами к отрезкам F'F₂, F"F₂ и, значит, будут искомыми касательными к эллипсу. Для построения точек касания проведем прямые F₁F', F₁F" и найдем их точки пересечения A', A" с касательными a', a" соответственно CA'  и CA" будут искомыми.

Во втором случае, когда проведенные окружности имеют одну общую точку (касаются), мы будем иметь одну касательную. Если же окружности не имеют общих точек, то касательных нет.

Лабораторная работа. Укажем способ получения эллипса из листа бумаги. Вырежем из бумаги большой круг и в любом его месте, отличном от центра, поставим точку F. Сложим круг так, чтобы эта точка совместилась с какой-нибудь точкой F' окружности круга и на бумаге обра­зовалась линия сгиба a (рис. 5). Линия сгиба будет серединным перпендикуляром к отрезку FF' и, следовательно, касательной к эллипсу. Разогнем круг и снова согнем его, совместив точку с другой точкой окружности круга. Сделаем так несколько раз, пока вся бумага не покроется линиями сгибов. Линии сгибов будут касательными к эллипсу. Граница участка внутри этих сгибов будет иметь форму эллипса.